DERET ARITMATIKA

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Barisan Aritmatika

Menurut Jozep Bintang Kalangi barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu. Misalnya:

5,8,11,14,17,....

Masing-masing suku dalam barisan setelah suku pertama diperoleh dengan cara menambah nilai 3 pada suku sebelumnya atau suku yang mendahuluinya. Untuk suku pertama dan beberapa suku lainnya dapat kita lihta sebagai berikut:

a₁=5

a₂=5+3=8

a₃=8+3=11

a₄=11+3=14, dan seterusnya

Pada barisan diatas, ternyata selisih atau perbedaan nilai di antara dua suku yang berurutan mempunyai beda yang konstan. Barisan yang seperti ini kita sebut sebagai barisan aritmatika. Dengan kata lain, barisan aritmatika adalah suatu barisan di mana selisih di antara dua suku yang berurutan mempunyai nilai yang konstan. Nilai konstan ini sering disebut dengan beda yang sama, dan biasanya dilambangkan dengan huruf b. Selanjutnya, barisan aritmatika ini dapat ditentukan nilai suku ke-n, jika suku pertama a₁ dan beda yang sama b diketahui. Secara umum, suku-suku barisan aritmatika berbentuk,

a₁,a₂,a₃,...

di mana:             a₂=a₁+b

                           a₃=a₂+b=(a­₁+b)+b=a₁+2b

                           a₄=a₃+b=(a₁+2b)+b=a₁+3b

                           a₅=a₄+b=(a­₁+3b)+b=a₁+4b

koefisien dari b dalam suku-suku tertentu adalah lebih besar dari satu.

Jadi, suku ke-n dalam suatu barisan aritmatika adalah,

  atau

Di mana:            S_n= a_n = Suku ke-n

                           a₁= suku pertama

                           b = beda yang pertama

                           n = banyaknya suku[1]

contoh soal:

carilah suku ke-10 dari barisan

3,7,11,15,19,...

Penyelesaian:

Diketahui:          a₁= 3; b= 4; n= 10

Dengan demikian, a₁₀= 3 + (10-1) 4

                                    = 3 + 36

                                    = 39

B.Deret Aritmatika

Menurut Wahyu Hidayat deret hitung (aritmatika) adalah deret yang setiap sukunya diperoleh dengan menambah bilangan yang sama terhadap suku sebelumnya[2]. Sedangkan menurut Jozep Bintang Kalangi yang dimaksud dengan deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku dalam suatu barisan[3]. Deret aritmatika ini bentuknya adalah,

Atau

 . Hal seperti ini dapat dinyatakan secara umum,

 [4]

Untuk mencari jumlah sampai ke suku ke-n atau D_n dari suatu deret hitung dengan a₁ sebagai suku pertama dan b sebagai beda yang sama, maka rumusnya adalah:

 

 

Atau        

Contoh soal:

Carilah jumlah 8 suku pertama dari deret hitung berikut ini:

4,6,8,10,...

Diketahui: a= 4    b = 2    n= 8

 

      

 [5]

C.    Model Perkembangan Usaha

Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha (misalnya:produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, penanaman modal) berpola seperti barisan aritmetika, maka prinsip-prinsip barisan aritmetika dapat digunakan untuk menganalisa perkembangan variabel tersebut. Berpola seperti barisan aritmetika maksudnya bahwa variabel yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periodeke periode berikutnya.[6]

Contoh soal:

Perusahaan genteng “Sokajaya” menhasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan , berapa buah genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan ke-5 tersebut ?

Jawab :

a = 3.000

b = 500

n = 5

Hasil Bulan Ke-5

 S₅          = a + (n – 1 )b

               = 3000 + (5-1) 500

               = 3000 + 2000

               = 5000

Jadi  hasil produksi pada bulan ke-5 adalah 5.000 genteng

Jumlah Produksi genteng sampai bulan ke-5

 D₅         =  n/2 (a + U₅ )

               = 5/2 (3000 + 5000 )

               = 5/2 ( 8000 )

               = 20000

Jadi jumlah produksi genteng selama lima bulan adalah 20.000[7]

BAB III

PENUTUP

A.    Penutup

1.  Kalangi barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu. Misalnya:

5,8,11,14,17,....

2.  deret hitung (aritmatika) adalah deret yang setiap sukunya diperoleh dengan menambah bilangan yang sama terhadap suku sebelumnya.

3.  perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha (misalnya:produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, penanaman modal) berpola seperti barisan aritmetika, maka prinsip-prinsip barisan aritmetika dapat digunakan untuk menganalisa perkembangan variabel tersebut. Berpola seperti barisan aritmetika maksudnya bahwa variabel yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periodeke periode berikutnya.

B.Saran

Demikianlah tugas penyusunan makalah ini. Harapan kami dengan adanya makalah ini bisa menjadikan kita untuk lebih memahami tentang deret aritmatika, Serta dengan harapan semoga dapat difahami dan bermanfaat bagi para pembaca. Kritik dan saran sangat kami harapkan, mengingat makalah masih jauh dari kesempurnaan.

---

                [1] Jozep Bintang Kalangi, Matematika Ekonomi dan Bisnis, (Jakarta: Salemba Empat,  2009) hal 108-109

                [2] Wahyu Hidayat, Matematika Ekonomi, (Malang: UMM Press, 2005), hal 11

                [3] Jozep Bintang Kalangi, Matematika Ekonomi dan Bisnis,...hal 109

                [4] Ibid, hal 109

                [5] Wahyu Hidayat, Matematika Ekonomi,... hal 13

                [6] https://www.scribd.com/doc/28019135/Penerapan-Barisan-Dan-Deret-a-Model-Perkembangan¸diakses pada Sabtu, 17 Oktober 2015 Pukul 12:45

                [7] https://dinialfauziah.wordpress.com/2013/11/08/penerapan-baris-dan-deret-dalam-kehidupan-sehari-hari/, diakses pada Sabtu, 17 Oktober 2015 Pukul 12:50